SISTEMAS NUMERICOS

Sistemas de numeración.
Se define la base de un sistema de numeración como el número de símbolos distintos que tiene.

Normalmente trabajamos con el sistema decimalque tiene 10 dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
La representación de un número N en un sistemade base b, puede realizarse mediante el desarrollo en forma polinómica.
N=anbn + an-1bn-1 + ... + a1b1 + a0b0 + a-1b-1 + ...
Donde:
b: base del sistema.
ai: coeficientes que representan las cifras de los números.
Por ejemplo:
a) El número 723,54 en base 10, lo podemos expresar:
723,54 = 7x102 + 2x101 + 3x100 + 5x10-1 + 4x10-2

b) El número 523,74 en base 8, lo podemos expresar:
523,74 = 5x82 + 2x81 + 3x80 +7x8-1 + 4x8-2

Sistema binario.
Consta de dos dígitos el 0 y el 1. A cada uno de ellos se le llama bit (binary digit). La forma de
contar en este sistema es similar al decimal, es decir: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000,...

Para cambiar un número de sistema binario a decimal se procede de la siguiente forma:
Primero se expresa el número binario en su polinomio equivalente, a continuación se calcula el
polinomio y el resultado es el número en base 10.
abcde,fg (2)= N (10)
N = a24 + b23 + c22 + d21 + e20 + f2-1 + g2-2
De la coma a la izquierda son los exponentespositivos y de la coma a la derecha son los exponentes negativos.
Por ejemplo:
a) El número 11010,11 en base 2, lo podemos expresar en base 10:
1x24 +1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 + 0,5 + 0,25 = 26,75
Observar como se calcula la parte de después de la coma.
b) El número 101011,101 en base 2, lo podemos expresar en base 10:
1x25 +0x24 +1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 43,625

Para realizar el cambio de base decimal a base binaria de procede como se indica a continuación:
Se divide número decimal por dos, continuamente hasta que todos los restos y cocientes sean 0 o 1.

El número binario será el formado por el último cociente (bit de mayor peso) y todos los restos.

Por ejemplo:
a) El número 37 en base decimal, lo podemos expresar:

37 en base 10 = 100101 en base 2

Sistema hexadecimal.
Consta de dieciséis dígitos el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y el F. La forma de contar en este sistema es similar al decimal, es decir: 0, 1, 2,..., E, F, 10, 11, 12,..., 1E, 1F, 20, 21, 22,..., 2E,2F, 30, 31, 32,..., 3E, 3F,...
La equivalencia entre hexadecimal y decimal es:
Hex 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Dec 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Para cambiar un número de sistema hexadecimal a decimal se procede de la siguiente forma:
Primero se expresa el número hexadecimal en su polinomio equivalente, a continuación se calcula el polinomio y el resultado es el número en base 10.



...abcde (16)= N (10)
N = ...a164 + b163 + c162 + d161 + e160



Por ejemplo:
a) El número 3A1 en base 16, lo podemos expresar en base 10:
3x162 + (A)10x161 + 1x160 = 768 + 160 + 1 = 929



b) El número 3BF8 en base 16, lo podemos expresar en base 10:
3x163 + (B)11x162 + (F)15x161 + 8x160 = 12288 + 2816 + 240 + 8 = 15352



Para realizar el cambio de base decimal a base hexadecimal de procede como se indica a
continuación:
Se divide número decimal por 16, continuamente hasta que todos los restos y cocientes sean valores entre 0 y 15(F). El número hexadecimal será el formado por el último cociente (bit de mayor peso) y todos los restos.



Por ejemplo:
a) El número 3571 en base decimal, lo podemos expresar:

3571 en base 10 = DF3 en base 16

La fácil conversión que tiene este sistema con el binario lo hace muy atractivo.
La equivalencia entre Hexadecimal, decimal y binario es:
Hexadecimal Decimal Binario
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
A 10 1010
B 11 1011
C 12 1100
D 13 1101
E 14 1110
F 15 1111

Para cambiar un número de sistema binario a hexadecimal se procede de la siguiente forma:
Primero se agrupa el número binario en bloques de cuatro bits empezando por el bit de menor peso.
Luego se convierte cada uno de los grupos en su equivalente Hexadecimal.
Por ejemplo:
a) El número 11101011011 en base 2, lo podemos expresar en base 16: 111,0101,1011 = 75B
b) El número 11011010110110 en base 2, lo podemos expresar en base 16:
11,0110,1011,0110 = 36B6

Para cambiar un número de sistema hexadecimal a binario se procede de manera similar:
Primero se convierte cada dígito hexadecimal en su equivalente binario de cuatro bits. Luego se
agrupan y ya está.
Por ejemplo:
a) El número 15E8 en base 16, lo podemos expresar en base 2:
15E8= 0001,0101,1110,1000 =0001010111101000
b) El número 123 en base 16, lo podemos expresar en base 2:
123 = 0001,0010,0011 = 000100100011